#3 확률 모형과 확률 변수는 무엇인가요?

1. 확률 모형(Probability Model)

 

확률 모형은 어떤 실험이나 과정에서 발생할 수 있는 모든 결과와 그 확률을 수학적으로 표현한 것입니다.

 

즉, 무작위적인 현상을 수학적으로 설명하는 체계라고 할 수 있습니다.

 

확률 모형은 다음과 같은 요소로 구성됩니다.

1. 표본 공간(Sample Space, S)

• 가능한 모든 결과들의 집합

• EX): 동전을 던질 때 표본 공간은 $$S = \{H, T\} (앞면, 뒷면)$$

 

2. 사건(Event, E)

• 표본 공간의 부분 집합으로 특정 결과들의 모임

• EX): 주사위를 던질 때 “짝수가 나올 확률”은 $$E = \{2, 4, 6\}$$

 

3. 확률 함수(Probability Function, P)

• 각 사건에 대해 특정 확률을 할당하는 함수

• EX): 주사위를 던질 때 각 숫자가 나올 확률은 $$P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = \frac{1}{6}$$

 

확률 모형은 크게 이산 확률 모형(Discrete Probability Model)과 연속 확률 모형(Continuous Probability Model)으로 나뉩니다.

• 이산 확률 모형: 결과가 셀 수 있는 경우 (예: 주사위, 동전 던지기)

• 연속 확률 모형: 결과가 연속적인 값으로 표현되는 경우 (예: 사람의 키, 온도 측정값)

 

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2. 확률 변수(Random Variable)

 

확률 변수는 확률 모형에서 특정 사건을 수치적으로 표현하는 변수입니다.

쉽게 말해, 실험의 결과를 숫자로 변환한 것입니다.

 

확률 변수는 보통 대문자 X, Y, Z 등으로 표현됩니다.

 

(1) 이산 확률 변수(Discrete Random Variable)

• 값이 셀 수 있는 경우 (정수 값)

• 예: 주사위를 던졌을 때 나오는 눈의 개수 $$X = \{1,2,3,4,5,6\}$$

 

(2) 연속 확률 변수(Continuous Random Variable)

• 값이 연속적인 경우 (소수 포함)

• 예: 사람의 키 X (예: 170.5cm)

 

확률 변수에는 확률 분포(Probability Distribution)가 따라오며, 이는 특정 값이 나올 확률을 설명하는 함수입니다.

• 이산 확률 변수 → 확률 질량 함수(PMF, Probability Mass Function)

• 연속 확률 변수 → 확률 밀도 함수(PDF, Probability Density Function)

 

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3. 확률 모형과 확률 변수의 관계

• 확률 모형은 어떤 확률 실험이 어떻게 작동하는지 정의하는 체계

• 확률 변수는 확률 모형에서 특정 실험 결과를 숫자로 변환하는 역할

 

예제: 주사위를 던지는 경우

• 확률 모형: 주사위의 모든 면(1~6)이 동일한 확률을 가짐

• 확률 변수 X: 주사위를 던졌을 때 나오는 숫자 (1,2,3,4,5,6 중 하나)

 

즉, 확률 모형은 전체적인 구조를 설명하는 틀이고, 확률 변수는 그 안에서 특정 결과를 숫자로 표현하는 도구입니다.