#4 누적 분포 함수와 확률 밀도 함수는 무엇인가요?

누적 분포 함수(CDF)와 확률 밀도 함수(PDF) 개념 정리

 

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1. 확률 밀도 함수(Probability Density Function, PDF)

 

확률 밀도 함수(PDF)는 연속 확률 변수의 특정 값 근처에서 확률이 어떻게 분포하는지 나타내는 함수입니다.

 

(1) 정의

 

확률 변수 X가 연속적인 경우, **확률 밀도 함수 f(x)**는 다음 성질을 만족합니다.

1. 함수의 모든 값이 0 이상

$$ f(x) \geq 0, \quad \forall x$$

 

2. 전체 확률의 합이 1

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \,dx = 1$$

 

3. 특정 구간에서 확률 계산 가능

확률 변수 X가 구간 a \leq X \leq b에 존재할 확률은 다음과 같이 계산됩니다.

$$P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$$

 

즉, PDF는 특정 값에서의 확률을 직접 구할 수 없고, 특정 구간에 대한 확률을 적분하여 계산해야 합니다.

 

(2) 예제 - 정규 분포(Normal Distribution)의 PDF

 

정규 분포(평균 \mu, 분산 \sigma^2)의 확률 밀도 함수는 다음과 같습니다.

 

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$$

 

이 함수는 종 모양의 곡선을 그리며, 평균 \mu 부근에서 확률이 높고 극단적인 값에서는 확률이 낮습니다.

 

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2. 누적 분포 함수(Cumulative Distribution Function, CDF)

 

누적 분포 함수(CDF)는 확률 변수 X가 특정 값 이하일 확률을 나타내는 함수입니다.

 

(1) 정의

 

누적 분포 함수 F(x)는 확률 밀도 함수 f(x)를 적분하여 정의됩니다.

 

$$F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \,dt$$

 

즉, x보다 작은 값에서 확률이 얼마나 누적되었는지를 나타냅니다.

 

(2) 성질

1. CDF는 0에서 1까지 증가하는 함수

$$0 \leq F(x) \leq 1$$

2. 연속 확률 변수에서는 미분하면 PDF가 됨

$$f(x) = \frac{d}{dx} F(x)$$

3. 확률 구간 계산 가능

$$P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a)$$

 

(3) 예제 - 정규 분포의 CDF

 

정규 분포의 누적 분포 함수는 다음과 같이 정의됩니다.

 

$$F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{(t - \mu)^2}{2\sigma^2}} dt$$

 

이 함수는 적분이 어렵기 때문에 일반적으로 **정규분포표(표준 정규 분포 표)**를 이용하여 값을 찾습니다.

 

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3. 확률 밀도 함수(PDF)와 누적 분포 함수(CDF)의 관계

• PDF는 확률이 어떻게 분포하는지 나타내는 함수.

• CDF는 특정 값 이하의 누적 확률을 나타내는 함수.

• PDF를 적분하면 CDF가 되고, CDF를 미분하면 PDF가 됨.

 

수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

 

$$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \,dt$$

 

$$f(x) = \frac{d}{dx} F(x)$$

 

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4. 예제 - 균등 분포(Uniform Distribution, U(a,b))

 

(1) 확률 밀도 함수(PDF)

 

균등 분포 U(a, b)의 경우, 확률 밀도 함수는 다음과 같습니다.

 

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a \leq x \leq b \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

 

(2) 누적 분포 함수(CDF)

 

누적 분포 함수는 PDF를 적분하여 구할 수 있습니다.

 

$$F(x) = \begin{cases} 0, & x < a \\ \frac{x - a}{b - a}, & a \leq x \leq b \\ 1, & x > b \end{cases}$$

 

즉, 균등 분포에서는 특정 값까지의 누적 확률이 선형적으로 증가합니다.

 

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5. 결론

1. 확률 밀도 함수(PDF): 특정 값에서 확률이 얼마나 집중되어 있는지를 나타내는 함수.

• 특정 값의 확률은 의미가 없으며, 특정 구간의 확률을 적분으로 계산해야 함.

2. 누적 분포 함수(CDF): 특정 값 이하의 누적 확률을 나타내는 함수.

3. PDF와 CDF의 관계

• PDF를 적분하면 CDF가 되고, CDF를 미분하면 PDF가 됨.

• 정규 분포, 균등 분포 등 다양한 확률 분포에서 활용됨.

 

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